最佳线性滤波理论起源于40年代美国科学家Wiener和前苏联科学家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人统称为维纳滤波理论。从理论上说，维纳滤波的最大缺点是必须用到无限过去的数据，不适用于实时处理。为了克服这一缺点，60年代Kalman把状态空间模型引入滤波理论，并导出了一套递推估计算法，后人称之为卡尔曼滤波理论。卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻地估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。
现设线性时变系统的离散状态防城和观测方程为：
X(k) = F(k,k-1)·X(k-1) T(k,k-1)·U(k-1)
Y(k) = H(k)·X(k) N(k)
其中
X(k)和Y(k)分别是k时刻的状态矢量和观测矢量
F(k,k-1)为状态转移矩阵
U(k)为k时刻动态噪声
T(k,k-1)为系统控制矩阵
H(k)为k时刻观测矩阵
N(k)为k时刻观测噪声
则卡尔曼滤波的算法流程为：
- 预估计X(k)^= F(k,k-1)·X(k-1)
- 计算预估计协方差矩阵
C(k)^=F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)' T(k,k-1)×Q(k)×T(k,k-1)'
Q(k) = U(k)×U(k)'
- 计算卡尔曼增益矩阵
K(k) = C(k)^×H(k)'×[H(k)×C(k)^×H(k)' R(k)]^(-1)
R(k) = N(k)×N(k)'
- 更新估计
X(k)~=X(k)^ K(k)×[Y(k)-H(k)×X(k)^]
- 计算更新后估计协防差矩阵
C(k)~ = [I-K(k)×H(k)]×C(k)^×[I-K(k)×H(k)]' K(k)×R(k)×K(k)'
- X(k 1) = X(k)~
C(k 1) = C(k)~
重复以上步骤
